Statistika
telah banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Statistika digunakan antara lain; anggaran belanja harian setiap hariRp. 50.000, biaya
sekolah tiap bulan Rp. 300.000, penjualan kendaraan bermotor setiap
tahun naik 20%, pengeluaran untuk ongkos naik angkutan kota Rp. 15.000,
perkembangan jumlah mahasiswa STAI Nur El Ghazy setiap tahun bertambah 5%. Semua contoh
kegiatan
tersebut memanfaatkan angka-angka atau data untuk memberikan informasi.
Statistika membantu mempermudah membaca data yang kadangkala ratusan
bahkan ribuan jumlahnya yang sulit untuk dibaca. Untuk mengatasi kesulitan tersebut perlu dibuat dalam bentuk penyajian yang lebih
sederhana melalui tampilan yang berbeda baik berupa tabel maupun grafik. Data
dalam bentuk tabel atau grafik berapapun jumlahnya dapat dibaca dengan mudah
dan memberikan makna yang banyak. Namun demikian jika data disajikan
dalam bentuk keliru dapat memberikan informasi yang menyesatkan. Oleh karena itu
statistika perlu dipelajari oleh guru-guru agar dalam menerapkan statistika
pada kegiatan pembelajaran sehari-hari termasuk memberikan penilaian kepada peserta didik dapat dilakukan dengan baik dan benar.
A. Pengertian Statistika dan Statistik
Ditinjau dari asal kata, statistika berasal dari bahasa latin, yaitu “status” atau “statista” yang mempunyai arti negara. Pada awalnya status atau
statista digunakan untuk mencatat berbagai kegiatan atau urusan yang berkaitan dengan Negara misalnya, jumlah penduduk pada tahun tertentu, penerimaan pajak, pengeluaran untuk gajitenaga pengajar, dan lain-lain. Perkataan statistika berasal dari tulisan Aritoteles “Politela” menguraikan keadaan dari 158 negara yang merupakan awal ditemukan kata statistika. Pada abad ke-17 dan ke-18 ada tiga peristilahan yang bersaing yaitu; “political arithmetic”, “publisistika”, dan “statistika”. Pada pertengahan abad ke 18 dari ketiga istilah tersebut yang masih bertahan adalah statistika, maka istilah tersebut digunakan sampai sekarang.
Sejalan dengan perkembangan zaman, maka statistika tidak
lagihanya digunakan untuk urusan pemerintah atau negara, tetapi mulai banyak
digunakan diberbagai bidang kehidupan, termasuk dalam kegiatan penelitian
seperti pendidikan, pertanian, sosial, kodokteran, farmasi, biologi, sains dan
psikologi.
Dari hasil penelitian, monitoring, maupun pengamatan sering
diminta adanya laporan pada akhir kegiatan yang berupa suatu uraian, penjelasan
atau kesimpulan mengenai persoalan yang diteliti, dimonitoring atau diobservasi.
Data yang telah terkumpul baik yang berupa angka, gambar, dan uraian kata,
terlebih dahulu dipelajari, dianalisis, atau diolah dan berdasarkan pengolahan
tersebut barulah dibuat kesimpulan. Pembuatan laporan yang dimulai dari pengumpulan
data atau keterangan dari lapangan, pengolahan data dan pembuatan kesimpulan
harus dilakukan secara cermat, teliti, baik, hati-hati mengikuti cara-cara dan
teori yang benar dan dapat dipertanggung jawabkan. Prosedur ini ternyata
memerlukan adanya pengetahuan tersendiri yang perlu dipelajari dan dinamakan
dengan istilah statistika. Dengan demikian statistika adalah pengetahuan yang
berhubungan dengan teknik atau cara pengumpulan data, pengolahan atau analisis
data, dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan analisis yang
dilakukan.
Mengetahui jumlah penduduk Indonesia, jumlah guru setingkat
sekolah dasar yang belum berpendidikan S-1, jumlah kemiskinan, kesehatan, dan
berbagai persoalan yang akan diselesaikan melalui riset atau pengamatan dan
hasil pemecahan masalah berupa laporan apakah itu dari hasil pengamatan atau
penelitian. Data yang diperoleh dari lapangan dapat berbentuk bilangan atau
angka-angka atau bentuk lainnya. Kumpulan data yang berupa angka-angka disusun,
diatur, atau disajikan dalam bentuk daftar atau tabel. Adakalanya data
disajikan dalam bentuk tabel yang disertai dengan gambar yang disebut dengan
grafik atau diagram dengan tujuan memperjelas permasalahan yang dipelajari.
Kegiatan menyajikan semacam ini dinamakan dengan statistik. Dengan demikian
statistik adalah kumpulan data, yang berupa bilangan atau bukan bilangan
disusun dalam bentuk tabel, diagram atau grafik yang menggambarkan suatu
persoalan. Statistik yang dipergunakan untuk menjelaskan permasalahan tertentu,
diberi nama sesuai dengan permasalahan tersebut. Oleh karena itu ada statistik
pertanian, statsitik pendidikan, statistik penduduk, statistik psikologi,
statistik pengukuran, dan masih ada nama-nama lainnya.
Selain
pengertian di atas masih ada pengertian lain dari statistik yaitu pengertian
yang menyatakan ukuran sebagai wakil dari kumpulan data tertentu misalnya data
tentang prestasi UN pada tingkat MI dipemerintah Kabupaten Bekasi. Ukuran ini diperoleh
dari perhitungan dengan menggunakan kumpulan sebagian data yang diambil dari seluruh
data atau subjek yang diteliti. Ukuran-ukuran statistik ini, ada yang
menggunakan kata persen, rata-rata atau kata lainnya. Untuk memudahkan memahami
istilah statistik dalam pengertian lain, maka dapat dilihat dari ilustrasi berikut
ini; dari 50 siswa MI yang mengikuti ujian akhir semester mata pelajaran IPA,
ada 40% siswa yang memperoleh skor 7 ke atas, maka nilai 40% adalah statistik.
Demikian pula jika dari lima puluh siswa MI yang mengikuti ujian akhir semester
dihitung rata-ratanya diperoleh skor 7, maka rata-rata 7 adalah statistik.
B. Pembagian Statistika, Istilah-istilah Statistika
Statistika dapat dibagi menjadi dua yaitu statistika
matematis atau statistika teoritis dan statistika terapan atau statistika
aplikasi.
1. Statistika Teoritis (matematis)
Statistika teoritis adalah statistika yang dipelajari secara
mendalam, mendasar, dan secara teoritis. Dalam mempelajari statistika teoritis,
diperlukan adanya kemampuan matematika yang sangat dalam dan kuat. Hal ini dikarenakan
bahasan statistika teoritis adalah penurunan sifat-sifat, dalil-dalil,
rumus-rumus, menciptakan model-model yang secara teoritis dan matematis,
misalnya rumus rata-rata, model regresi linear sederhana dan sebagainya.
2. Statistika Terapan (Aplikasi)
Dalam mempelajari statistika terapan, tidak diperlukan
kemampuan matematika yang kuat, karena bahasan statistika terapan hanya
mempelajari teknik penggunaan statistika untuk penelitian atau kepentingan yang
lainnya. Apa yang telah diciptakan oleh statistika teoritik, berupa
aturan-aturan, rumus-rumus, sifat-sifat dan sebagainya dipelajari dan digunakan
sesuai dengan kebutuhan diberbagai bidang pengetahuan. Oleh karena itu bahasan
disini tidak mempersoalkan bagaimana diperoleh rumus-rumus atau aturan - aturan,
melainkan hanya bagaimana cara menggunakan rumus - rumus atau aturan-aturan
statistika dalam menyelesaikan suatu permasalahan. Dengan demikian maka
statistika terapan digunakan diberbagai bidang ilmu, baik ilmu alam maupun ilmu
sosial. Di bidang ilmu alam dikenal fisika statistik, di bidang ilmu teknik
dikenal dengan nama stokastik, dan bidang ilmu pertanian banyak menggunakan
statistika. Dibidang ilmu sosial, statistika digunakan diberbagaibidang ilmu
seperti;
a. Psikologi
b. Pendidikan
c. Ekonomi
d. Sosiologi
e. Manajemen
f. Linguistik
g.
Kesehatan masyarakat
C. Pembagian Statistika Berdasarkan Tujuan Pengolahan Data
Statistika terapan dapat dibagike dalam dua kelompok yaitu
statistika deskriptif dan statistika inferensial atau induktif.
1. Statistika Deskriptif
Statistika deskriptif adalah bagian dari statistika yang membahas
cara pengumpulan dan penyajian data, sehingga mudah untuk dipahami dan dapat
memberikan informasi yang berguna bagi siapapun. Statistika deskriptif hanya
mereduksi, menguraikan atau memberikan keterangan suatu data, fenomena atau
keadaan ke dalam beberapa besaran untuk disajikan secara bermakna dan mudah
dimengerti. Statistika ini hanya berfungsi menguraikan, menggambarkan dan
menerangkan keadaan, persoalan, permasalahan tanpa menarik suatu kesimpulan
terhadap data yang lebih luas atau populasi. Apabila data yang dianalisis
merupakan sebagian atau sampel darisuatu populasi, maka statistika deskripitif
akan menghasilkan ukuran-ukuran sampel (statistik). Sebaliknya data yang
dianalisis merupakan keseluruhan populasi, maka statistika deskriptif akan
menghasilkan ukuran-ukuran populasi(parameter). Beberapa contoh statistika
deskriptif antara lain:
a. Pada suatu Madrasyah Ibtidaiyah ada 30 guru yang mengajar.
Dari 30 guru yang mengajar, ada 10 orang yang berjenis kelamin laki-laki dan 20
orang berjenis kelamin perempuan, dan ada 5 guru yang perlu ditingkatkan
pendidikannya ke Strata 1.
b. Seluruh siswa Madrasyah Ibtidaiyah sebanyak 250 siswa.
Jumlah siswa kelas 1 adalah 20%, siswa kelas 2 adalah 15%, siswa kelas 3 10%,
siswa kelas 4 sebanyak 15%, siswa kelas 5 sebanyak 20%, dan siswa kelas 6
sebanyak 20%.
c. Kelas IV-a yang berjumlah 25 siswa, merupakan sebagian
dari keseluruhan kelas IV yang berjumlah 100 siswa disuatu Madrasyah Ibtidaiyah
yang mengikuti ujian akhir semester. Dari hasil ujian mata pelajaran sains
dikelas IV-a yang jumlahnya 25 siswa diperoleh rata-rata skor matematika 6,67
dan simpangan baku 2,01 maka prosedur yang digunakan di sini adalah statistika
deskriptif. Demikian pula prosedur yang digunakan untuk menghitung rata-rata
dan simpangan baku hasil ujian akhir semester mata pelajaran matematika seluruh
siswa kelas IV yang berjumlah 100 siswa.
d. Siswa
Madrasyah Ibtidaiyah yang mengikutiujian nasional berjumlah 100 siswa. Untuk
mengetahuibesarnya skor yang diperoleh siswa dalam mata pelajaran matematika,
disajikan dalam bentuk tabel sebagaiberikut:
Tabel
Skor UN siswa mata pelajaran matematika
Nomor
|
Skor
|
Frekuensi
|
1
|
4
|
0
|
2
|
5
|
0
|
3
|
6
|
15
|
4
|
7
|
25
|
5
|
8
|
30
|
6
|
9
|
20
|
7
|
10
|
10
|
Jumlah
|
100
|
|
Dari tabel di atas, diperoleh gambaran mengenai jumlah
siswa yang memperoleh skor UN tertentu pada mata pelajaran matematika. Data ini
dapat digunakan untuk melihat penyebaran kemampuan siswa dalam mata pelajaran
matematika dan dapat digunakan sebagai acuan untuk meningkatkan proses
pembelajaran dimasa yang akan datang.
Berdasarkan beberapa contoh-contoh tersebut, maka ruang
lingkup bahasan statistika deskripitif adalah:
1). Distribusi frekuensi, tabel dan grafik
2). Ukuran pusat
3). Ukuran letak
4). Ukuran simpangan
5). Korelasi linear sederhana
2. Statistika Inferensial
Statistika inferensial adalah bagian dari statistika yang
membahas cara melakukan analisis data, menaksir, meramalkan, dan menarik
kesimpulan terhadap data, fenomena, persoalan yang lebih luas atau populasi berdasarkan
sebagian data (sampel) yang diambil secara acak dari populasi. Statistika
inferensial membuat kesimpulan berdasarkan pendugaan dari sebagian atau sampel
data dan pengujian hipotesis. Oleh karena itu ada tiga kegiatan pada statistika
inferensial yang meliputi:
a. Pengujian hipotesis
b. Estimasi atau menaksir
c. Pengambilan
keputusan
Guna memberikan gambaran yang lebih jelas berikut ini
beberapa contoh statistika inferensial antara lain:
a. Populasi siswa Madrasyah Ibtidaiyah yang berjumlah 1200
siswa ingin ketahui prestasi Ujian Nasional dalam mata pelajaran sains.
Peneliti tidak perlu mengambil seluruh siswa sebagai subjek penelitian, tetapi cukup
dengan mengambil sebagian dari anggota populasi sebagai sampel secara random
atau acak. Misalnya dari 1200 siswa yang mengikuti UN mata pelajaran sains
diambil sebagai sampel sebanyak 100 siswa. Dari 100 siswa ini diperoleh data
tentang prestasi UN mata pelajaran sains, kemudian dihitung rata-rata dan diperoleh
6,76 dan simpangan baku 2,01. Harga rata-rata atau variansi (simpangan baku
yang dikuadratkan) dari100 siswa dipergunakan untuk manaksir rata-rata atau
variansi populasi yang berjumlah 1200 siswa.
b. Peneliti ingin menguji keefektifan dua buah cara
penjumlahan dalam mata pelajaran matematika. Misal membandingkan cara
menjumlahkan ke samping dan ke bawah. Peneliti mengambil dua kelas dari 10
kelas yang ada disebuah Madrasah Ibtidaiyah. Kelas pertama yang berjumlah 25
siswa diajar dengan cara menjumlahkan ke samping dan kelas ke dua berjumlah 30
siswa diajar dengan cara menjumlahkan ke bawah. Setelah dilakukan perhitungan,
maka diperoleh rata-rata kelompok satu 5,76 dan rata-rata kelompok ke dua 8,65.
Darikedua rata-rata kelompok initernyata terdapat perbedaan, kelompok ke dua
memiliki harga rata-rata lebih tinggi dari pada kelompok ke satu. Perbedaan ini
dapat digunakan untuk menaksir atau mengestimasi ke seluruh populasi yang
berjumlah 10 kelas berdasarkan data sampel.
Kedua
contoh di atas menggambarkan bahwa statistika inferensial memberikan
kemungkinan seseorang untuk bekerja secara lebih teliti, efektif dan efisien
dari segi waktu, tenaga, dan biaya.
Ruang lingkup bahasan statistika inferensial meliputi:
1). Probabilitas atau peluang
2). Distribusiteoritis
3). Sampling dan sampling distribusi
4). Pendugaan populasi
5). Analisis korelasi linear sederhana dan pengujian signifikansi
6). Pengujian rata-rata
7). Analisis regresilinear sederhana
8). Analisis varians, dan
9). Analisis kovarian
D. Pembagian Statistika Berdasarkan Bentuk Parameter
Berdasarkan
asumsi tentang distribusi populas iatau parameter data yang dianalisis, maka
statistika dibedakan menjadi statistika parametrik dan statistika
nonparametrik.
Statistika parametrik adalah teknik statistika yang
parameter populasinya atau asumsi distribusi populasi data berdasarkan pada
model distribusi normal dan memiliki variansi yang homogen. Asumsi model
distribusi normal oleh beberapa ahli yang telah melakukan studi empiris
khususnya untuk uji t tidak banyak memberikan pengaruh, kecuali jika bentuk
distribusinya terlalu ekstrim. Demikian juga untuk asumsi homogentas variansi,
tidak memberikan pengaruh terhadap hasil perhitungan jika kedua kelompok sama
besarnya.
Statistika nonparametrik adalah teknik statistika yang
parameter populasinya atau asumsi distribusi populasi data tidak mengikuti model
distribusi tertentu atau bebas distribusi tertentu dan variansi tidak harus
homogen. Oleh karena itu statistika nonparametrik dikenal juga dengan
statistika yang bebas distribusi.
E. Pembagian Statistika Berdasarkan Variabel
Berdasarkan variabel terikat yang dianalisis, maka statistika
dibedakan menjadi statistika univariat dan multivariat.
Statistika univariat adalah teknik statistika yang dalam
analisisnya hanya melibatkan satu variabel terikat terlepas dari berapapun
banyak variabel bebasnya. Misalnya penelitian tentang hubungan motivasi belajar
dengan prestasi belajar matematika di Madrasah Ibtidaiyah Tambun.
Sedangkan statistika multivariat adalah teknik statistika yang
dalam analisis paling sedikit melibatkan dua buah variabel terikat sekaligus.
Misalnya perbandingan metode demontrasi dengan metode tanya jawab ditinjau dari
waktu belajar pagi dan sore pada mata pelajaran sains topik bahasan gaya
geseran.
F. Fungsi Statistika
Fungsi statistika seperti telah disinggung secara tidak langsung
pada uraian sebelumnya, maka fungsi statistika perlu diulas kembali secara
lebih terincidalam berbagai bidang yaitu:
1. Penelitian ilmiah
Peranan statistika dalam penelitian ilmiah adalah
penyajian data yang diperoleh dari hasil pengukuran terhadap variabel terikat
dan mengemukakan atau menemukan, dan menerangkan kembali keterangan-keterangan
yang tersembunyi dalam angka-angka statistik.
Selain itu statistika juga memiliki peranan sebagai sarana
untuk melakukan analisis dan interpretasi dari data kuantitatif, sehingga
diperoleh kesimpulan dari hasil penelitian ilmiah yang berupa ilmu.
2. Proses Pembelajaran
Peranan
statistika dalam kegiatan pembelajaran disekolah yaitu membantu para guru
dalam melakukan analisis butir soal-soal yang digunakan untuk mengukur hasil belajar siswa dan membantu guru
untuk menghitung rata-rata kelas dan
simpangan baku dalam rangaka menentukan nilai dalam rapot.
3. Kehidupan sehari-hari
Dalam
kehidupan sehari-hari statistika memiliki peranan untuk menyediakan data, bahan-bahan atau keterangan-keterangan dari berbagai hal untuk disajikan, dianalisis dan ditafsirkan.
Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan kehidupan yang modern ini, banyak kajian-kajian yang telah dilakukan oleh para ahli terhadap statistika, hasilnya adalah bermunculan beberapa cabang ilmu baru yang merupakan gabungan dari beberapa ilmu yang telah ada dengan statistika. Salah satunya adalah
pengabungan statistika dengan ilmu tertentu menghasilkan cabang ilmu baru antara lain:
1). Psikometrimerupakan penggabungan statistika dan ilmu psikologi,
2). Sosiometrimerupakan gabungan daristatistika dengan ilmu sosiologi,
3). Ekonometrika merupakan gabungan daristatistika dengan ilmu ekonomi.
G. Lambang Statistika
Dalam
statistika
banyak lambang huruf atau abjad yang digunakan untuk memudahkan penulisan.
Pada umunya huruf yang digunakan sebagai lambang biasanya
huruf latin bentuk kapital dan non kapital,
dan huruf Yunani bentuk kapital dan nonkapital. Dalam penggunaanya, dapat saja
terjadihuruf
kapital
dan huruf nonkapital yang sama mewakili besaran berbeda. Missal
huruf X dan x dapat mewakili besaran yang berbeda.
Beberapa huruf Yunaniyang digunakan dalam statistika
yaitu;
Nama Kapital
kecil Nama Kapital kecil
alpha Α α nu Ν ν
beta Β β xi Ξ ξ
gamma Γ γ omicron Ο ο
delta Δ δ pi Π π
epsilon Ε ε rho Ρ ρ
zeta Ζ ζ sigma Σ σ, ς
eta Η η tau Τ τ
theta Θ θ upsilon Υ υ
iota Ι ι phi Φ φ
kappa Κ κ khi Χ χ
lambda Λ λ psi Ψ ψ
mu Μ μ omega Ω ω
Latihan
Kerjakalah semua soal-soal ini dengan seksama untuk mengukur
pemahaman anda setelah selesai mempelajari materi dalam modul.
1. Apakah perbedaan istilah statistika dengan statistik,
jelaskan pendapat anda!
2. Statistika dibagi menjadi dua yaitu statistika matematik
dan statistika aplikasi, jelaskan perbedaan kedua statistika!
3. Berdasarkan tujuan statistika dibagidua, sebutkan dan
jelaskan dengan kata-kata anda sendiri!
4. Apakah yang dimaksud dengan statistika parametrik dan
nonparametrik, jelakan pendapat anda!
5. Bagipendidik belajar statistika banyak manfaatnya,
sebutkan beberapa fungsi statistika membantu guru dalam menjalankan tugas
sehari-hari!
Rangkuman
Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan teknik atau
cara pengumpulan data, pengolahan atau analisis data, dan penarikan kesimpulan
berdasarkan kumpulan data dan analisis yang dilakukan.
Statistik adalah kumpulan data, yang berupa bilangan atau bukan
bilangan disusun dalam bentuk tabel, diagram atau grafik yang menggambarkan
suatu persoalan.
Statistika teoritis adalah statistika yang membahas penurunan
sifat-sifat, dalil-dalil, rumus-rumus, menciptakan model-model rumus yang
secara teoritis dan matematis.
Statistika terapan adalah statistika yang membahasan bagaimana
cara menggunakan rumus-rumus atau aturan-aturan statistika dalam menyelesaikan
suatu permasalahan.
Statistika deskriptif adalah statistika yang membahas cara
pengumpulan dan penyajian data, sehingga mudah untuk dipahamidan memberikan
informasiyang berguna.
Statistika inferensial membahas cara melakukan analisis data,
menaksir, meramalkan, dan menarik kesimpulan terhadap data, fenomena, persoalan
yang lebih luas atau populasi berdasarkan sebagian data (sampel) yang diambil
secara acak daripopulasi.
Statistika univariat adalah teknik statistika yang dalam
analisisnya hanya melibatkan satu variabel terikat terlepas dariberapapun
banyak variabel bebasnya.
Sedangkan statistika multivariat adalah teknik statistika
yang dalam analisis paling sedikit melibatkan dua buah variabel terikat
sekaligus.
3. Dari
soal nomor 2 hitunglah frekuensi proporsi pada masing-masing kelas interval.
X = X0 + -------
Data Statistik
Statistik tidak akan terlepas dari data,
tanpa data kuantitatif statistik tidak dapat
menjalankan fungsinya sebagai alat pengolah dan penyaji data. Pengukuran dan data merupakan satu kesatuan melalui kegiatan pengukuran diperoleh data. Pengukuran dapat dilakukan pada semua subjek (populasi) atau dilakukan hanya pada
sebagian darivsubjek yang ditelitiv(sampel). Berikut ini akan dibahas permasalah
yang berkaitan dengan data
A. Pengertian
Keterangan terhadap sesuatu dapat
berbentuk kategori; baik, cantik, sehat, enak,
berhasil, atau dalam bentuk bilangan atau angka merupakan data atau data statistik. Oleh karena itu data dapat berbentuk kualitatif dan kuantitatif.
Data yang berupa angka merupakan
komponen atau bahan baku utama dalam statistika, tanpa data maka statistika tidak akan berfungsi apa-apa.
Hal ini
disebabkan analisis dana kuantitatif dan teknik statistik merupakan dua persoalan yang berbeda tetapi saling berkaitan satu sama lainnya.
Analisis
data merupakan kegiatan yang berkenaan
dengan pengolahan data dengan bantuan teknik
statistik
untuk memecahkan masalah dan melibatkan
pertimbangan dalam mengambil keputusan. Sedangkan teknik statistik merupakan kumpulan rumus-rumus yang baku untuk digunakan mengolah data statistik. Data statistik diperoleh darihasil pengukuran kemampuan yang terpendam maupun yang teramati. Oleh karena itu
apapun bentuk data kuantitatif akan diproses oleh teknik analisis statistik dan menghasilkan
ukuran-ukuran atau kecenderungan dari karakteristik data yang
bersangkutan. Hasil analisis statistik sangat tergantung
dari kualitas data yang ada, jika
data yang dianalisis benar akan
menghasilkan informasi yang benar, sebaliknya jika data yang diberikan tidak benar akan menghasikan
informasi yang menyesatkan atau bias.
Data adalah bentuk jamak dari datum. Data merupakan kumpulan fakta, keterangan, atau angka-angka,
yang dapat digunakan sebagai dasar untuk menarik
kesimpulan. Oleh karena itu data harus
benar-benar dapat dipercaya, artinya menggambarkan kondisi atau keadaan yang
sesungguhnya. Beberapa contoh data; pergerakan nilai tukar mata uang rupiah terhadap
dolar amerika setiap jam, status sosial ekonomi (kaya, miskin), keadaan cuaca
(hujan, mendung, cerah), jumlah siswa yang tidak masuk kelas setiap hari, skor
hasil ujian tengah semester mata pelajaran matematika di MI, hasil Ujian
Nasional mata pelajaran sains diMI dan sebagainya. Tabel berikut merupakan
contoh data hasil ujian tengah semester,
Tabel
Hasil
Ujian Tengah Semester Mata pelajaran Sains
Nomor
|
Nama
|
Skor
|
1
|
Ajeng
|
6
|
2
|
Asep
|
7,5
|
3
|
Agus
|
6,3
|
4
|
Ahmad
|
9
|
5
|
Ahman
|
7,7
|
6
|
Ali
|
5,9
|
7
|
Awang
|
6,4
|
8
|
Awing
|
8
|
9
|
Ayu
|
8,5
|
10
|
Ardini
|
7,9
|
11
|
Abas
|
8,2
|
12
|
Augustin
|
6,8
|
13
|
Apung
|
5,7
|
14
|
Ayi
|
8
|
15
|
Abdulah
|
7
|
B. Jenis Data
Data
dapat dibedakan dalam beberapa golongan tergantung dari sudut mana
memandangnya. Berikut iniakan dibahas beberapa jenis data yaitu;
1. Bentuk
skor
Data
berdasarkan sifat angka atau skor dapat dibedakan menjadidua golongan yaitu
data diskrit dan data kontinu. Data diskrit sesuaidengan namanya
memilikiciriyang terpisah-pisah antara angka (bilangan) yang satu dengan angka
yang terdekat lainnya atau data yang tidak berbentuk pecahan.
Contoh
data diskrit yaitu; jumlah siswa pada tiap-tiap kelas, banyaknya mobil yang
lewat pada setiap menit, skor hasil ujian 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8.
Untuk
lebih jelasnya dapat dilihat pada derat data dibawah ini;
.
. . . . . . . .
.
1
2 3 4 5 6 7 8 9
Data
kontinu adalah data statistika yang angkanya merupakan deretan angka yang
saling menyambung dari satu data ke data yang lainnya (kontinum). Untuk melihat
memberikan gambaran secara visual dapat dilihat pada deretan angka berikut ini;
1
2 3 4 5 6 7
Contoh
data kontinu yaitu, berat badan siswa MI kelas V adalah; 3,00 34,1 34,2 34,3
34,4 34,5 34,6 34,7
34,8 34,9 4,00 dan seterusnya.
2. Bentuk
Data
Pada
awal bahasan ini anda telah membaca keterangan yang berupa kategori; baik,
cantik, sehat, enak, berhasil, atau dalam bentuk bilangan atau angka seperti3,
4, 5, 6, 7. Oleh karena itu data dapat dibedakan menjadi data bentuk kualitatif
dan kuantitatif. Contoh keterangan yang berupa kategori; baik, cantik, sehat,
berhasil dinamakan data kualitatif. Sedangkan keterangan yang berupa angka, 15,
18, 10, dan 25 merupakan contoh data kuantitatif.
3. Sumber
data
Berdasarkan
sumbernya, terdapat data intern dan data ekstern. Data intern adalah data yang diperoleh
dari sumbernya secara langsung. Misalnya hasil pengetesan atau ujian terhadap
siswa dalam mata pelajaran matematika suatu kelas, diperoleh skor 15, 20, 32,
22, 10, 26, 25, dan sebagainya. Skor-skor ini dinamakan dengan data intern.
Data
ekstern adalah data yang diperoleh darisumber lain. Misal untuk mengetahui kemampuan
siswa dalam mata pelajaran matematika, dilakukan pengetesan atau ujian oleh
pihak luar selain guru yang mengajar dan diperoleh skor 20, 22, 27, 30, 31, 29
dan sebagainya. Skor yang diperoleh ini merupakan data ekstern dan biasanya
digunakan sebagai pembanding.
C. Besaran data
Berdasarkan data yang digunakan dalam statistik dilihat dari nilainya
dapat dibedakan menjadi nilai besaran
konstanta dan variabel.
Data
nilai besaran konstanta adalah data yang memiliki nilai tertentu yang tetap
atau konstan. Data yang berupa nilai besaran konstan terbagi menjadi konstanta
umum atau universal dan konstanta khusus. Data yang memiliki nilai konstanta
umum nilai besarannya berlaku secara umum atau general, misal besarnya nilai π
= 3,14159… dan nilai е = 2,71828…
Sedangkan
data yang memiliki nilai konstanta khusus nilainya berlaku hanya pada situasi tertentu,
misal harga y = a + bx. Nilai a dan b adalah nilai konstanta yang memiliki nilai atau mewakili satuan tertentu dan tidak
berlaku secara umum.
Data
yang berupa nilai besaran variabel adalah data yang mempunyai nilai besaran
berubah-ubah atau bervariasi. Data yang nilai besarannya berubah-ubah atau
bervariasi dibedakan menjadi variabel tak acak atau matematik dan variabel acak
atau probabilistik. Data variabel tak acak adalah data yang nilai besarannya
ditentukan sepenuhnya oleh keadaan sudah diketahui, misal X = banyaknya buku
yang sudah dikirim pada suatu distributor, dan Y = kecepatan putaran jam
tangan.
Data
variabel acak adalah data yang nilai besarannya ditentukan sepenuhnya oleh
keadaan yang tidak diketahui, misal X = keluarnya mata suatu dadu, Y = angka
yang keluar darisuatu undian, dan Z = skor yang kemunginan diperoleh siswa dalam
mengikutiujian.
D. Skala Data
Skala
adalah suatu ciripada besaran atau variabel yang memungkin untuk dinyatakan
dengan bentuk bilangan. Skala biasa digunakan dalam bidang pengukuran. Ada
beberapa skala ukur antara lain; meter untuk jarak, detik untuk waktu, ampere
untuk arus listrik, 0 dan 1 untuk menyatakan butir yang dijawab salah dan
benar, 1 sampai10 pada ujian diMI, 1 sampai5 untuk sikap. Stevens membagi skala
ukur menjadi empat, yaitu; skala nominal, skala ordinal, skala interval, dan
skala rasio.
a. Skala
nominal,
Skala nominal adalah skala ukur yang
memiliki ciri hanya membedakan. Misal nomor telapon 2019574 tidak ada bedanya
dengan nomor telepon 2012173, nomor rumah 13 dengan nomor 91, nomor induk
mahasiswa 0809981 tidak berbeda dengan nomor 0809918. Pengkodean yaitu
laki-laki diberi kode 1, dan perempuan dengan kode 2. Dar ibeberapa contoh yang
ada, skala nominal tidak membedakan satu nomor atau kode dengan yang lain
berbeda makna, semua pasangan data adalah sama.
b. Skala
ordinal
Skala ordinal, adalah skala data yang
mempunyaicirimembedakan juga menunjukkan adanya peringkat. Misal juara pertama
= 1, juara ke dua = 2, dan juara ke tiga = 3. Lulusan SD = 1, lulusan SMP = 2,
Lulusan SMA = 3.
Pada
skala ordinal jarak diantara 1 ke 2 serta ke 2 ke 3 tidak harus sama jaraknya,
maka jarak di antara skala sama atau tidak sama.
c. Skala
interval,
adalah skala data yang mempunyaicirimembedakan, menunjukkan peringkat dan berjarak sama.
Misal temperatur 24ºC, 25ºC, 26ºC.
Potensial - 2 volt, - 1 volt, 0 vol, 1 volt.
Jarak diantara 24ºC, ke jarak 25ºC, sama dengan jarak 25º ke 26ºC
dan tidak
memilikititik
0.
d. Skala
rasio,
adalah skala data yang memilikiciri; membedakan, menunjukkan peringkat,
berjarak sama, dan memilikititik 0 yang tulen atau mutlak.
Misal banyaknya orang : 0 orang, 1
orang, 2 orang, 3 orang dan seterusnya
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Rasio 6 : 2 = 3,
8 : 2 = 4 hasil
bagitersebut
adalah tetap tidak berubah
Latihan
1. Berdasarkan
skala pengukuran, data statistik dapat dikelompokan menjadiempat kategori. Sebutkan keempat jenis data tersebut dan jelaskan karakteristik
masing-masing
serta berikan
contoh untuk masing-masing jenis data !
2. Pembagian
data berdasarkan sifatnya terbagimenjadidata diskrit dan data kontinu, jelaskan dengan bahasa sendiriapa
yang dimaksud
dengan data diskrit dan data kontinu dan berikan masing-masing contoh!
3. Berdasarkan
sumber data terbagimenjadidata intern dan data ekstern, jelaskan apa yang dimaksud
dengan kedua istilah tersebut dengan menggunakan bahasa sendiri!
4. Apakah fungsidata dalam statistika
jelaskan pendapat anda!
5. Besaran
data ada yang konstan dan variabel, jelaskan kedua istilah tersebutdengan menggunakan kata-kata sendiri!
Rangkuman
Data
adalah bentuk jamak dari datum. Data merupakan kumpulan fakta, keterangan, atau
angka, yang dapat digunakan sebagai dasar menarik kesimpulan.
Data
dikrit
memiliki
ciri
yang terpisah-pisah
antara angka (bilangan) yang satu dengan angka yang terdekat lainnya
atau data yang tidak berbentuk pecahan.
Data
kontinu
adalah data statistika yang merupakan deretan angka saling
menyambung dari satu data ke data lainnya (kontinum).
Data dapat dibedakan menjadidata bentuk kualitatif dan kuantitatif. Data kualitatif keterangan yang berupa
kategori;
baik,
cantik,
sehat. Data kuantitatif berupa keterangan
angka; 15, 18, 10, dan 25.
Data
konstanta adalah data yang memilikinilaitertentu yang tetap atau konstan.
Data
variabel adalah data yang mempunyainilaibesaran berubah-ubah atau bervariasi.
Data yang nilai besarannya berubah-ubah atau bervariasi dibedakan menjadi variabel
tak acak atau matematik dan variabel acak atau probabilistik.
Skala ukur terdiridariempat, yaitu; skala nominal, skala ordinal, skala
interval, dan skala rasio.
Statistika Deskriptif :
Distribusi Frekuensi dan Grafik
Data
berasal dari berbagai sumber
dan bidang ilmu.
Pada statistika
semua data perlu diubah dalam bentuk bilangan atau numerik. Data yang telah
terkumpul biasanya masih tidak beraturan dan
dapat disusun supaya mudah untuk dibaca dan dimaknai. Bentuk susunan data dapat dilakukan satu persatu dengan urutan dari kecil ke besar, besar
ke kecil, atau bentuk yang lain, dan bentuk kelompok dengan memasukkan data dalam
kelompok pada kelas interval tertentu.
Data
yang telah ditata dalam bentuk distribusi sesuai dengan frekuensinya dan dimasukkan dalam
tabel disebut dengan tabel distribusi. Bentuk tabel distribusi frekuensi ada dua yaitu distribusi frekuensi tunggal dan distribusi frekuensi kelompok atau
tergolong. Oleh karena itu distribusi frekuensi adalah susunan
data dalam bentuk tunggal atau kelompok menurut kelas-kelas tertentu dalam
sebuah daftar. Distribusi frekuensi termasuk dalam statistika deskriptif, karena hanya
mendeskripsikan
data yang ada tanpa menarik kesimpulan pada kelompok yang lebih besar.
A. Distribusi Frekuensi Tunggal
Distribusi frekuensi tunggal merupakan
urutan tiap-tiap
skor, satuan-satuan unit dalam suatu data
tertentu. Hasil ujian
akhir semester bahasa Indonesia dikelas IV Madrasah
Ibtidaiyah
jumlah siswanya 40, diperoleh skor sebagaiberikut;
5 7
4 3
8 6 7
6 3
5
9 4
6 3
2 10
5 8
4 8
6 5
3 8
7 9
6 4
2 4
6 8
5 9
2 10
9 7
5 8
Data
di atas perlu disusun dalam bentul
tabel distribusi frekuensi agar lebih praktis dan mudah dibaca. Bentuk tabel distribusi frekuensi pada tabel sebagai berikut;
Tabel
Distribusi
Hasil Ujian Bahasa Indonesia
Nomor
|
Skor
|
Tally
|
Frekuensi
(f)
|
1
|
2
|
///
|
3
|
2
|
3
|
////
|
4
|
3
|
4
|
/////
|
5
|
4
|
5
|
///// /
|
6
|
5
|
6
|
///// /
|
6
|
6
|
7
|
////
|
4
|
7
|
8
|
///// /
|
6
|
8
|
9
|
////
|
4
|
9
|
10
|
//
|
2
|
Jumlah (Σf) = n
|
40
|
||
Tabel
di atas merupakan tabel distribusi frekuensi tunggal. Distribusi frekuensi adalah
penyebaran skor atau data berdasarkan frekuensinya. Untuk contoh pada tabel di atas
jumlah frekuensi= 40, frekuensi tersebut tersebar pada setiap skor, skor 2
sebanyak 2, skor 3 sebanyak 4, skor 5 sebanyak 6, skor 6 sebanyak 6, skor 7
sebanyak 4, skor 8 sebanyak 6, skor 9 sebanyak 4, dan skor 10 sebanyak 2.
B. Distribusi Frekuensi Kelompok
Distribusifrekuensikelompok
digunakan untuk data yang banyak jumlahnya, karena data tidak lagisetiap skor
tetapidikelompokan pada interval tertentu. Data hasil ujian mata kuliah
statistika diperoleh skor sebagaiberikut;
79 49
48 74
81 98
87 80
80 84
90 70
91 93
82 78
70 71
92 38
56 91
74 73
68 72
85 53
65 93
83 86
90 32
83 73
74 43
86 68
92 93
76 71
90 72 67 75
80 91
61 72
97 91
88 81
70 74
99 95
80 59
71 77
63 60
83 82
60 67
89 63
76 63
88 70
66 80 79 75
Untuk
membuat sekelompok data menjadi distribusi frekuensi kelompok diperlukan
beberapa langkah-langkah atau tahapan sebagaiberikut;
a. Mengurutkan
data dari yang terkecil ke yang terbesar
b. Menentukan
rentang (R) atau jarak data antara yang tertinggi dan terendah.
c. Menentukan
jumlah kelas interval (k) dengan rumus Sturgess
k = 1 + 3,322 log n dibulatkan menjadik = 1 + 3,3 log n
k = jumlah kelas interval
n = jumlah data
d. Menentukan panjang kelas interval (p)
Rentang
( R )
Panjang kelas interval (i) = ----------------------
Jumlah
kelas (k)
e. Menentukan
skor kelas interval pertama, dengan memilih skor terendah atau sekitar skor
terendah. Jika yang dipakai bukan skor terendah, maka skor tertinggi harus
masuk pada kelas interval tertinggi dan sesuai dengan jumlah kelas interval
yang ditetapkan.
f. Menentukan
batas bawah kelas interval, batas interval terletak diantara dua buah batas
kelas interval. Batas bawah kelas interval atas berimpit dengan batas atas
kelas interval atas.
g. Menuliskan
frekuensi kelas dalam kolom tally sesuai dengan banyaknya data.
Data hasil ujian mata kuliah
statistika akan dibuat dalam bentuk distribusi frekuensi tergolong atau
kelompok dalam tabel berikut;
1. Jumlah
seluruh data (n) = 80
2. Data
minimum Xmin =
32 dan data maksimum Xmaks
= 99
3. Menentukan
banyaknya kelas interval dengan rumus Sturgess
k = 1 + 3,322 log n
k = 1 + 3,322 log 80 = 7,3220 = 7 (dibulatkan)
4. Menghitung
panjang kelas interval
Rentang
( R ) 99 - 32
Panjang
kelas interval (i) =----------------------- = ------------------= 9,571 = 10
Jumlah kelas (k) 7
5. Memasukkan
skor ke dalam kelas interval
Setelah seluruh proses perhitungan
pada setiap
langkah, maka hasil perhitungan tampak pada tabel 3 sebagaiberikut;
Tabel
3
Hasil
perhitungan distribusi kelompok
Kelas Interval
|
Tally
|
Frekuensi
|
31 – 40
|
//
|
2
|
41 – 50
|
///
|
3
|
51 – 60
|
/////
|
5
|
61 – 70
|
///// ///// ////
|
14
|
71 – 80
|
///// ///// ///// ///// /////
|
25
|
81 – 90
|
///// ///// ///// ///
|
18
|
91 –100
|
///// ///// ///
|
13
|
C. Distribusi Frekuensi Kumulatif dan Proporsi
Data
yang telah disusun dalam bentuk distribusi frekuensi dapat diubah dalam bentuk distribusi yang lain yaitu;
1. Distribusi Frekuensi
Kumulasi
Distribusi
frekuensi
dapat dikumulasikan
dalam bentuk kumulasi frekuensi. Kumulasi frekuensi adalah jumlah frekuensi untuk sejumlah data, baik
secara keseluruhan atau sebagian.
Bentuk kumulasi frekuensi ada dua yaitu kumulasi ke bawah dan kumulasi ke atas. Kumulasi ke bawah adalah kumulasi yang dihitung dari
data terkecil secara bertahap ke data yang terbesar. Kumulasi
atas adalah kumulasi yang dihitung mulai dari data terbesar secara bertahap ke data yang terkecil.
Untuk memberikan gambaran yang jelas, maka data pada tabel sebelumnya
akan disusun
dalam bentuk frekuensi kumulasi sebagai berikut;
Tabel
Distribusi
kumulasi ke bawah dan ke atas
Data
(X)
|
Frekuensi (f)
|
Kumulasi bawah
|
Kumulasi atas
|
2
|
3
|
3
|
40
|
3
|
4
|
7
|
37
|
4
|
5
|
12
|
33
|
5
|
6
|
18
|
28
|
6
|
6
|
24
|
22
|
7
|
4
|
28
|
16
|
8
|
6
|
34
|
12
|
9
|
4
|
38
|
6
|
10
|
2
|
40
|
2
|
2. Distribusi Frekuensi Proporsi
Proporsi diperoleh
dari perbandingan
frekuensi
suatu data dengan frekuensitotal. Proporsi dapat berbentuk pecahan diantara 0 sampai1
dan juga berbentuk persentase dari0% sampai100%. Untuk menghitung proporsi dapat dilakukan dengan membagisuatu frekuensi data dengan seluruh frekuensidata,
atau
dengan rumus;
f
proporsi(p) = -------------
Σf
Nilai proporsi berada di antara 0 sampai 1 atau 0 ≤ p≤≤ 1,
sedangkan jumlah dari seluruh data adalah satu. Frekuensi
proporsi
sama halnya dengan frekuensi, sehingga dapat dikumulasikan baik untuk frekuensi proporsi atau frekuensi proporsi kumulasi. Data sebelumnya akan dihitung proporsi dan
kumulasi
proporsi, maka hasil perhitungan tampak pada tabel berikut;
Distribusi
Frekuensi Proporsi
Data
(X)
|
Frekuensi (f)
|
Proporsi (p)
|
Proporsi dalam persen (%)
|
2
|
3
|
3/40 =0,075
|
(3/40) x 100 =7,5
|
3
|
4
|
4/40 =0,100
|
(4/40) x 100 =10
|
4
|
5
|
5/40 =0,125
|
(5/40) x 100 =12,5
|
6
|
6
|
6/40 =0,150
|
(6/40) x 100 =15
|
7
|
4
|
4/40 =0,100
|
(4/40 x 100 =10
|
8
|
6
|
6/40 =0,510
|
(6/40) x 100 =15
|
9
|
4
|
4/40 =0,100
|
(4/40) x 100 =10
|
10
|
2
|
2/40 =0,050
|
(2/40) x 100 =5
|
Latihan
1. Hasil
ujian akhir semester bahasa Indonesia dikelas VI Madrasah Ibtidaiyah jumlah
siswanya 30, diperoleh skor sebagaiberikut;
9 4 6 3 2 10 5 8 4 8
6 5 3 8 7 9 6 4 2 4
6 8 5 9 2 10 9 7 5 8
Buatlah
tabel distribusi tunggal yang menggambarkan penyebaran frekuensi data diatas!
2. Data
hasil ujian mata kuliah statistika diperoleh skor sebagai berikut;
70 50 68 75 43 85
81 63
79 49 48 74
81 98 87 80
80 84 90 70
91 93 82 78
70 71 92 38
56 91 74 73
68 72
85 53 65 93 83
86
90 32 83 73
74 43 86 68
92 93 76 71
90 72 67 75
80 91 61 72
97 91 88 81
70 74 99 95
80 59 71 77
63 60 83 82
60 67 89 63
76 63 88 70
66 80 79 75
Buatlah
data di atas menjadi distribusi frekuensi kelompok dengan menggunakan rumus
Sturgess k = 1 + 3,322 log n dibulatkan
k = 1 + 3,3 log n
Ukuran Gejala Pusat
Siswa
merupakan individu yang unik, mereka mempunyai karateristik yang
berbeda-beda satu dengan yang lainnya. Hal ini didasari oleh konsep perbedaan individual yang
terjadi pada setiap orang. Perbedaan pada diri orang antara
lain, kecerdasan, berat badan, bakat, motivasi, prestasi, cita-cita dan
sebagainya. Jika seluruh kecerdasan seseorang diselidiki akan membentuk suatu kurva normal yaitu mereka
ada yang memiliki kecerdasan rendah sedikit, yang tergolong kecerdasan sedang banyak
jumlahnya, dan kecerdasan tinggi sedikit jumlahnya.
Statistika mempunyai fungsi untuk mencari angka atau nila idisekitar mana
angka-angka memusat dalam suatu distribusi frekuensi data. Ukuran pusat menunjukan kecenderungan data
memusat pada harga tertentu. Untuk lebih jelasnya berikut ini akan
dibahas ukuran yang mengarah pada gejala pusat.
Ukuran Gejala Pusat
Hasil ujian nasional mata
pelajaran bahasa Indonesia di kabupaten Bekasi, diperoleh nilai sesuai dengan
jumlah siswa yang mengikuti ujian nasional misalnya 6134 dari 514 sekolah
dasar/MI. Jika skor disajikan, maka akan ada data sebanyak 6134, dan sudah
barang tentu membutuhkan banyak waktu dan halaman untuk menyajikan sehingga tidak praktis dan data
tersebut sulit memberikan informasi. Dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi data yang
banyak dapat disederhanakan atau direduksi dan mudah untuk dibaca. Cara
lain untuk menyederhanakan adalah menggunakan ukuran gejala pusat, sehingga data
dapat diketahui ukuran - ukuran pemusatannya. Ukuran pusat yang paling banyak digunakan
adalah rata-rata, median dan modus. Berikut iniakan dibahas satu
persatu ukuran pusat yaitu;
1. Rata-rata
Ada beberapa jenis rata-rata, yaitu rata-rata hitung, rata-rata
ukur, dan rata-rata harmonik. Dalam bahasan ini hanya rata-rata hitung yang dibahas dan rata-rata lainya yaitu rata-rata goemetri dan rata-rata harmonic tidak dibahas. Untuk
keperluan perhitungan akan digunakan simbol-simbol yang sering dipakai dalam
statistika. Skor atau data kuantitatif dinyatakan dengan X1, X2, X3, …,Xn. Pada sekumpulan data ada
sebanyak n buah data, maka n dinyatakan sebagai seluruh atau banyaknya data
dalam sampel. Sedangkan N dipakai untuk menyatakan banyaknya data dalam
populasi.
Rata-rata hitung atau rata-rata yang dilambangkan dengan X (baca eks-bar) untuk ukuran sampel
(statistik) dan rata-rata populasi dilambangkan dengan µ (baca mu) untuk ukuran
parameter.
Rata-rata
adalah jumlah seluruh sekor dibagidengan banyaknya data.
Rumus
rata-rata adalah:
X1+X2+X3+.....+Xn atau
ΣX1
------------------------ --------
n n
dimana;
ΣX1 = jumlah
seluruh sekor X dalam sekumpulan data
n = jumlah seluruh data
Data hasil ujian bahasa Indonesia lima siswa adalah 5, 6, 4, 7, 8,
Jika
dihitung rata-ratanya adalah:
5+ 6+ 4 7+ 8 30
------------------
= ------ = 6
5 5
Data
ada yang memiliki frekuensi satu dan lebih dari satu maka rumus rata-rata
menjadi,
ΣfiXi
X
=-----------
Σfi
Rata-rata adalah hasil perkalian skor dengan frekuensidibagijumlah
frekuensi,
dimana,
Xi=
skor ujian
fi=
frekuensimasing-masing skor
Hasil
ujian bahasa Indonesia ada tujuh siswa memperoleh skor 5, enam siswa memperoleh
7, lima siswa memperoleh skor 8, satu siswa memperoleh skor 4, satu siswa
memperoleh skor 9. Dalam bentuk tabel, data disusun menjadi;
Tabel
Hasil ujian bahasa
Indonesia
|
Xi
|
fi
|
fiXi
|
|
5
|
7
|
35
|
|
7
|
6
|
42
|
|
8
|
5
|
40
|
|
4
|
1
|
4
|
|
9
|
1
|
9
|
|
Jumlah
|
20
|
130
|
Dari ntabel
diatas diperoleh;
Σfi= 20 ΣfiXi=
130,
ΣfiXi
130
X
=----------- = ----------- = 6,5
Σfi
20
Skor
rata-rata ujian bahasa Indonesia untuk 20 siswa adalah 6,5.
Contoh
berikutnya, hasil ujian akhir semester mata pelajaran matematika yang diikuti40
siswa kelas V tersebar menjadibeberapa sekor sebagaiberikut;
Tabel
Hasil ujian bahasa
Indonesia
|
Xi
|
fi
|
fiXi
|
|
5
|
5
|
25
|
|
7
|
16
|
112
|
|
8
|
15
|
120
|
|
9
|
4
|
36
|
|
Jumlah
|
40
|
293
|
Dari ntabel diatas diperoleh;
Σfi= 40 ΣfiXi=
293
ΣfiXi
293
X
=----------- = ----------- = 7,325
Σfi 40
Skor rata-rata ujian bahasa
Indonesia untuk 40 siswa adalah 7,325
Perhitungan
rata-rata dapat dipergunakan dengan menggunakan cara yang lain yaitu dengan
berkelompok.
Perhitungan
rata-rata untuk data hasil ujian yang disusun dalam bentuk distribusi
frekuensiyang berkelompok ada perubahan yaitu skor (Xi) diganti dengan titik
tengah kelas interval. Oleh karena itu hasil perhitungan rata-rata dengan
menggunakan bentuk distribusi kelompok ini memiliki kelemahan karena tidak
dapat memberikan terhadap nilai rata-rata yang sesungguhnya. Dengan perkataan
lain hasil rata-ratanya ada kemungkinan tidak sama jika dihitung dengan cara
perhitungan rata-rata dengan cara tidak dikelompokkan (tunggal) meskipun tidak
terlalu jauh bedanya. Untuk memberikan gambaran yang jelas maka ada data hasil
ujian matematika siswa sebagaiberikut;
79 49
48 74 81
98 87 80
80 84
90 70 91
93 82 78
70 71
92 38 56
91 74 73
68 72
85 53 65
93 83 86
90 32
83 73 74
43 86 68
92 93
76 71 90
72 67 75
80 91
61 72 97
91 88 81
70 74
99 95 80
59 71 77
63 60
83 82 60
67 89 63
76 63
88 70 66
80 79 75
Data hasil
ujian diubah dalam bentuk distribusikelompok, hasilnya tampak pada tabel
berikut;
Tabel
Distribusi
frekuensi data berkelompok
|
Kelas Interval
|
Titik tengah (Xi)
|
fi
|
fiXi
|
|
31 – 40
|
35,5
|
2
|
71
|
|
41 – 50
|
45,5
|
3
|
136,5
|
|
51 – 60
|
55,5
|
5
|
277,5
|
|
61 – 70
|
65,5
|
14
|
917
|
|
71 – 80
|
75,5
|
25
|
1887,5
|
|
81 – 90
|
85,5
|
18
|
1539
|
|
91 –100
|
95,5
|
13
|
1241,5
|
|
Jumlah
|
80
|
6070
|
|
Dengan
menggunakan rumus yang sama, maka rata-rata adalah;
ΣfiXi
6070
X
=----------- = ----------- = 75,875
Σfi 80
(dibulatkan).
Rata-rata
ujian matematika adalah 75,88.
Seorang guru
menghitung rata-rata dengan cara lain karena menghindari perhitungan dengan
angka-angka yang besar. Cara melakukan perhitungan rata-rata melalui penyederhanaan
dengan menggunakan kode agar perhitungan menjadi singkat. Cara yang dilakukan
dengan memberikan kode pada salah satu kelas interval yang diduga sebagai
rata-rata dugaan dengan nama X0. Pada X0 diberikan harga kode = 0. Titik tengah kelas
interval yang lebih kecil dariX0 diberikode =
-1, kode = -2, kode = -3, dan seterusnya atau semakin jauh dengan X0 diberikode semakin kecil. Sedangkan titik tengah
kelas interval yang lebih besar dariX0 diberikan kode = 1, kode = 2, kode = 3 dan seterusnya atau diberikan
kode semakin besar. Pengambilan salah satu kelas interval biasanya dipilih
kelas interval yang memilikifrekuensipaling banyak.
Jika panjang
kelas interval dinyatakan dengan i, maka rata-rata hitung adalah;
ΣfiCi
X = X0+ i ( ----------- )
Σfi
Contoh pada
perhitungan rata-rata distribusi frekuensi data berkelompok sebelumnya akan
dihitung lagi dengan menggunakan teknik
pengkodean sebagai berikut;
Tabel
Distribusi
frekuensi data berkelompok
|
Kelas Interval
|
(Xi)
|
fi
|
ci
|
fici
|
|
31 – 40
|
35,5
|
2
|
- 4
|
-8
|
|
41 – 50
|
45,5
|
3
|
-3
|
-9
|
|
51 – 60
|
55,5
|
5
|
-2
|
-10
|
|
61 – 70
|
65,5
|
14
|
-1
|
-14
|
|
71 – 80
|
75,5
|
25
|
0
|
0
|
|
81 – 90
|
85,5
|
18
|
1
|
18
|
|
91 –100
|
95,5
|
13
|
2
|
26
|
|
Jumlah
|
80
|
|
3
|
|
ΣfiCi
X = X0+ i ( ----------- )
Σfi
3
X = 75+ 10 ( ---- ) = 75 + 10 +0,375 = 75,875
80
= 75,88
(dibulatkan)
Berdasarkan
hasil perhitungan dengan menggunakan rumus yang berbeda diperoleh harga
rata-rata (mean) yang sama besarnya.
Cara yang
lain yaitu perhitungan rata-rata dengan simpangan rata-rata dugaan.
Bahasan dalam perhitungan
rata-rata yang telah dilakukan sebelumnya menggunakan skor asli, kode, dan ada
yang menggunakan simpangan dugaan.
Berikut ini akan dibahas
perhitungan rata-rata hitung dengan menggunakan simpangan dugaan yaitu seberapa
jauh menyimpang darinilai tengah pada rata-rata dugaan. Untuk menentukan nilai
tengah rata-rata dugaan dilakukan dengan jalan mencari kelas interval yang
memiliki frekuensi paling banyak.
Adapun rumus
yang dipergunakan adalah;
Σfx
X = X0 + -------
Σf
dimana, X0 = rata-rata dugaan, umumnya diambil dari titik
tengah kelas interval yang memiliki frekuensi paling tinggi X = X – X0 f
= frekuensi kelas interval
Untuk
memberikan gambaran yang lebih jelas berikut inicontoh perhitungan dengan
menggunakan data distribusi frekuensi pada perhitungan sebelum dihitung kembali
dengan rumus simpangan nilai tengah.
Data hasil
ujian mata pelajaran bahasa Indonesia sebagai berikut;
79 49
48 74 81
98 87 80
80 84
90 70 91
93 82 78
70 71
92 38 56
91 74 73
68 72
85 53 65
93 83 86
90 32
83 73 74
43 86 68
92 93
76 71 90
72 67 75
80 91
61 72 97
91 88 81
70 74
99 95 80
59 71 77
63 60
83 82 60
67 89 63
76
63 88 70
66 80 79
75
Tabel
Distribusi
frekuensi data berkelompok
|
Kelas Interval
|
(Xi)
|
fi
|
x = X - X0
|
fixi
|
|
31 – 40
|
35,5
|
2
|
- 40
|
-80
|
|
41 – 50
|
45,5
|
3
|
-30
|
-90
|
|
51 – 60
|
55,5
|
5
|
-20
|
-100
|
|
61 – 70
|
65,5
|
14
|
-10
|
-140
|
|
71 – 80
|
75,5
|
25
|
0
|
0
|
|
81 – 90
|
85,5
|
18
|
10
|
180
|
|
91 –100
|
95,5
|
13
|
20
|
260
|
|
Jumlah
|
80
|
|
30
|
|
Σfx
X = X0
+ -------
Σf
30
X = 75,5 +
------- X = 75,5 + 0375 =
75,875 = 75,88 (dibulatkan )
80
2.
Modus
Kegiatan ekstra kurikuler terdiri dari pramuka,
karawitan, pencak
silat, paskibra, angklung, badminton, volley ball, dram band.
Kegiatan ektra
kurikuler sifatnya sukarela siswa hanya diperbolehkan memilih satu kegiatan yang
boleh diikuti. Dari450 siswa disuatu Madrasah Ibtidaiyah kegiatan pramuka banyak diminati oleh siswa, maka kegiatan ekstra kurikuler pramuka adalah contoh dari modus. Contoh lain adalah pemilihan merek sepeda motor, yaitu Yamaha, Suzuki, Honda, Kawashaki, Vesva, Kimco. Darimerek yang ada orang yang
berada didaerah pengunungan
banyak yang memilih merek motor Honda, maka
adalah modus.
Modus adalah
suatu peristiwa yang paling banyak muncul disingkat Mo. Modus pada data kuantitatif adalah skor yang paling banyak frekuensinya diantara data lainnya. Namaun demikian adakalanya suatu kumpulan data memilikimodus yang
lebih darisatu. Misal darihasil ujian bahasa Indonesia didapat data sebagaiberikut; 5, 4, 3, 3, 6, 7, 6, 8, 6,
6.
Data dimasukan
dalam bentuk tabel sebagai berikut hasilnya,
Tabel
Data Hasil
Ujian
|
Xi
|
fi
|
|
3
|
2
|
|
4
|
1
|
|
5
|
1
|
|
6
|
4
|
|
7
|
1
|
|
8
|
1
|
Tabel data
skor ujian bahasa Indonesia yang memilikifrekuensiterbanyak adalah skor 6 = 4,
maka hanya ada satu modus yaitu skor 6. Contoh berikut inimenunjukan adanya
modus yang lebih darisatu;
Tabel
Data Hasil
Ujian
|
Xi
|
fi
|
|
3
|
2
|
|
4
|
1
|
|
5
|
1
|
|
6
|
4
|
|
7
|
1
|
|
8
|
1
|
Data
dalam tabel menunjukkan adanya dua skor yang memilikifrekuensisama banyaknya,
yaitu skor 4 frekuensinya 4 dan skor 6 frekuensinya 4, oleh karena itu modul
untuk kumpulan data ini adalah skor 4 dan skor 6. Jika modus dibuat dalam
bentuk grafik maka tampak pada gambar berikut;
Modus
Jika
data kuantitatif jumlahnya banyak dan telah disusun dalam daftar
distribusifrekuensi, perhitungan modus menggunakan rumus untuk data berkelompok
yaitu;
Dimana,
b = batas bawah kelas modus, diambil darikelas
interval yang paling banyak frekuensinya.
I = panjang kelas interval modus
bs = frekuensi kelas modus
dikurangifrekuensisebelum kelas interval modus
bm = frekuensi kelas modus
dikurangifrekuensisesudah kelas interval modus
Tabel
Distribusi data hasil ujian
|
Kelas Interval
|
Batas bawah
|
Batas atas
|
fi
|
|
31 – 40
|
30,5
|
40,5
|
2
|
|
41 – 50
|
40,5
|
50,5
|
3
|
|
51 – 60
|
50,5
|
60,5
|
5
|
|
61 – 70
|
60,5
|
70,5
|
14
|
|
71 – 80
|
70,5
|
80,5
|
25
|
|
81 – 90
|
80,5
|
90,5
|
18
|
|
91 –100
|
90,5
|
100,5
|
13
|
|
Jumlah
|
80
|
||
Modus kiraan
berada pada kelas interval 71 – 80, karena memilikifrekuensiterbanyak yaitu 25,
sehingga;
b
= 70,5
bs = 25 – 14 = 11
bm= 25 – 18 = 7
i=
10
11
Mo = 70,5+10( -----------) = 70,5 + 10 ( 0,61
) = 70,5 + 6,1 = 76,6
11+7
Modus pada
distribusifrekuensiujian bahasa Indonesia sebesar 76,6
3.
Median
Perhitungan rata-rata melibatkan seluruh data yang ada,
median merupakan
garis pembagidarisekumpulan data menjadidua bagian sama besarnya. Oleh karena itu median (me) adalah nilaitengah darisuatu data setelah diurutkan daridata terkecil ke data terbesar atau
sebaliknya. Garis pembagi pada suatu jalan raya merupakan median jalan yang biasanya disebut juga dengan garis median. Untuk menghitung median ada dua cara yaitu untuk data yang tidak dikelompokkan dan data
berkelompok.
a. Median data
tunggal
Untuk
mengetahuiletak median data tunggal ada dua cara
yang dapat dilakukan yaitu;
Data yang jumlahnya ganjil, median berada ditengah-tengah atau data paling tengah setelah data diurutkan. Dengan demikian letak median menjadi,
Me = Xn+1/2 atau ½ (n + 1)
Contoh: hasil ujian mata pelajaran menggambar
adalah 4, 5, 9, 8, 3, 6, 7
Data setelah diurutkan
adalah 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Jumlah data (n) = 7
Me = ½ (n +1) = ½ (7 +1) = 4 adalah (X4) = 6
Me berada pada skor ke 4 (X4) = 6
Data
yang genap median berada diantara dua data yang berada ditengah-tengah atau sama dengan
rata-rata hitung dua
data yang ditengah.
Contoh 1:
Hasil ujian mata pelajaran bahasa Indonesia adalah; 4, 6, 8, 3, 5, 2, 9, 7, 1, 10
Data setelah
diurutkan menjadi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10
Jumlah data
(n) = 10
Me = ½ (10
+1) = 5,5 atau antara X5 dan X6 yaitu skor
(5 + 6)/2 = 5,5
Me berada
pada skor ke 5 dan ke 6 yaitu 5,5
Contoh 2;
Hasil ujian tengah semester mata pelajaran sains dari15 siswa adalah; 23 32 33 37 48 41 40 27 28 35 29 30 44 46 38
49
Data urutkan
menjadi, 23 27 28 29 30 32 33 35 37 38 40 41 44 46 48 49
Jumlah data
n = 15
Me = ½ (16 +
1) = 17/2 = 8,5
Median
berada pada data urutan ke 8 dan ke 9 yaitu skor (35 + 37)/2 = 36
b. Median data
berkelompok
Menghitung median untuk distribusifrekuensidata
berkelompok pertama yang harus dilakukan adalah menghitung ½ n untuk menentukan
letak median terduga. Rumus menghitung median adalah,
Dimana
B = batas bawah median, yang diduga terletak
median
i = panjang kelas median
fb = semua
frekuensi yang berada di bawah kelas interval median
f = frekuensikelas median
Contoh:
data yang telah disusun dalam daftar distribusifrekuensiakan dihitung mediannya
sebagaiberikut
Tabel
Distribusi frekuensi data berkelompok
|
Kelas Interval
|
Batas Bawah
|
Batas Atas
|
fi
|
fk
|
|
31 – 40
|
30,5
|
40,5
|
2
|
2
|
|
41 – 50
|
40,5
|
50,5
|
3
|
5
|
|
51 – 60
|
50,5
|
60,5
|
5
|
10
|
|
61 – 70
|
60,5
|
70,5
|
14
|
24
|
|
71 – 80
|
70,5
|
80,5
|
25
|
49
|
|
81 – 90
|
80,5
|
90,5
|
18
|
67
|
|
91 –100
|
90,5
|
100,5
|
13
|
80
|
Mencari median terduga dengan
menghitung ½ n yaitu ½ 80 = 40.
Berdasarkan perhitungan ½ n =
40 berada kelas interval ke 5 yaitu 71 – 80.
Darikelas median diperoleh;
b = 70,5
i= 10
f = 25
fb = 2+3+5+14=24
40-24 16
Me = 70,5+10( -----------) = 70,5 + 10 (
------ ) = 70,5 + 6,4 = 76,9
25 25
Perhitungan
median dengan menggunakan distribusi kumulasi proporsi menggunakan rumus;
dimana,
d = batas bawah
i= panjang kelas interval
pm = proporsipada median
Σpb = kumulasiproporsibawah.
Distribusi
frekuensi data berkelompok
|
Kelas Interval
|
Batas bawah
|
Batas atas
|
fi
|
p
|
pkum
|
|
31 – 40
|
30,5
|
40,5
|
2
|
0,025
|
0,025
|
|
41 – 50
|
40,5
|
50,5
|
3
|
0,0375
|
0,0625
|
|
51 – 60
|
50,5
|
60,5
|
5
|
0,0625
|
0,125
|
|
61 – 70
|
60,5
|
70,5
|
14
|
0,175
|
0,3
|
|
71 – 80
|
70,5
|
80,5
|
25
|
0,3125
|
0,6125
|
|
81 – 90
|
80,5
|
90,5
|
18
|
0,225
|
0,8375
|
|
91 –100
|
90,5
|
100,5
|
13
|
0,1625
|
1
|
d = 70,5
i= 10
pm = 0,3125
Σpb = 0,3
0,5-0,3 0,2
Me = 70,5+10( -----------) = 70,5 + 10 (
---------- ) = 70,5 + 6,4 = 76,9
0,3125 0,3125
Median untuk
data yang telah disusun dalam distrubusi frekuensi diperoleh 76,9 ternyata
memperoleh hasil yang sama dengan menggunakan rumus distribusi frekuensi dan
kumulasi proporsi.
Latihan
1. Jelaskan Apakah yang dimaksud
dengan rata-rata sampel dan rata-rata populasi!
2. Apakah yang dimaksud dengan
median, Jelaskan pandapat anda!
3. Apakah yang dimaksud dengan
modus, Jelaskan pendapat anda!
4. Jelaskan apa yang dimaksud
dengan rata-rata dugaan!
5. Hasil ujian matematika
diperoleh data sebagaiberikut:
23 33 21 19
30 38 40 27 25 34 40 41 26 30 34 44 21 24
25 33 22 31
24 26 27 29 30 31 24 39 31 29 31 22 33 25
23 41 51 52
43 40 48 49 50 51 56 23 22 47 45 44 33 28
Hitunglah:
Rata-rata dengan cara perhitungan data
tunggal dan perhitungan dengan cara kelompok.
6. Hasil ujian matematika pada
kelas IV MI adalah;
|
Kelas Interval
|
fi
|
|
30 – 34
|
3
|
|
35 – 39
|
4
|
|
40 – 44
|
9
|
|
45 – 49
|
14
|
|
50 – 54
|
8
|
|
55 – 59
|
5
|
|
60
– 64
|
7
|
Hitunglah
data diatas median dengan menggunakan perhitungan data dikelompokkan!
7. Hasil ujian matematika
diperoleh data sebagaiberikut:
19 19 30 38
40 27 25 34 40 41 26 30 34 44 21 24 21 26
25 33 22 31
24 26 27 29 30 31 24 39 31 29 31 22 33 25
23 41 51 52 43 40 48 49 50 51 56
23 22 47 45 15 35 45
Hitunglah
modus untuk data yang ada diatas dengan menggunakan perhitungan data dikelompokkan.
